Так же точно и в математике. Возьмем любую алгебраическую величину а. Если мы отрицаем ее, мы получим — a (минус а). Если же мы подвергнем отрицанию это отрицание, помножив — a на — a, то получим + а2, т. е. первоначальную положительную величину, но на высшей ступени, именно во второй степени. И в этом случае не имеет значения, что то же самое а2 мы можем получить умножением положительного а на само себя. Ибо отрицаемое отрицание а так прочно пребывает в а2, что последнее при всяких обстоятельствах имеет два квадратных корня, именно + a и — а. И эта невозможность отделаться от отрицания отрицания, от содержащегося в квадрате отрицательного корня получает очень осязательное значение уже в квадратных уравнениях. Еще резче отрицание отрицания выступает в высшем анализе, в тех «суммированиях бесконечно малых величин», которые сам г. Дюринг объявляет наивысшими математическими операциями и которые на обычном языке называются дифференциальным и интегральным исчислением. Как производятся эти виды исчисления? Например, у нас в известной задаче имеются две переменные величины х и у, из которых одна не может изменяться без того, чтобы и другая не изменилась в определенном условиями задачи отношении. Я дифференцирую х и у, т. е. принимаю их столь бесконечно малыми, что они исчезают по сравнению со сколь угодно малой действительной величиной, что от х и у не остается ничего, кроме взаимного их отношения, лишенного, так сказать, всякой материальной основы, остается количественное отношение, лишенное всякого количества. Следовательно, dy/dx, т. е. отношение обоих дифференциалов х и у, равно 0/0, но это 0/0 выражает собою y/x. Упомяну лишь мимоходом, что это отношение двух исчезнувших величин, этот фиксированный момент их исчезновения, представляет собой противоречие; но оно должно нас тревожить так же мало, как оно вообще мало тревожило математику в течение почти 200 лет. Итак, что же я делаю, дифференцируя, как не то, что я отрицаю х и у, но только не в том смысле, что мне до них нет дела, как отрицает метафизика, а отрицаю соответственно обстоятельствам дела? Именно, вместо х и у я имею в данных формулах или уравнениях их отрицание dx и dy. Затем я произвожу дальнейшие действия с этими формулами, обращаюсь с dx и dy как с величинами действительными, хоть и подверженными некоторым исключительным законам, и в известном пункте я отрицаю отрицание, т. е. интегрирую дифференциальную формулу, вместо dx и dy вновь получаю действительные величины х и у и тем самым не просто возвращаюсь к исходному моменту, но разрешаю задачу, на которой обыкновенные геометрия и алгебра, быть может, понапрасну обломали бы себе зубы.
Не иначе обстоит дело и с историей. Все культурные народы начинают с общинной собственности на землю. У всех народов, которые перешли известную ступень первобытного состояния, общинная собственность начинает, по мере развития земледелия, сковывать производство. Она отменяется, отрицается, и после более или менее долгих промежуточных стадий превращается в частную собственность. Но на высшей ступени развития земледелия, достигаемой благодаря господству частной собственности на землю, последняя, в свою очередь, налагает оковы на производство, и это в настоящее время наблюдается как в мелком, так и в крупном землевладении. Отсюда необходимо возникает требование отрицания частной земельной собственности, превращения ее в собственность общественную. Но это требование не означает восстановления первобытной общинной собственности, но установление более высшей, более развитой формы общего владения, которое не только не является препятствием для производства, но, наоборот, впервые освобождает последнее от оков и дает ему возможность сполна использовать современные химические открытия и механические изобретения.
Или же еще пример. Античная философия представляла первобытный, естественный материализм. Как таковой, она не была способна выяснить отношение мысли к материи. Но необходимость выяснения этого вопроса привела к учению об отделимой от тела душе, далее — к утверждению бессмертия этой души, наконец, к монотеизму. Старый материализм был, таким образом, отрицаем идеализмом. Но при дальнейшем развитии философии идеализм также оказался несостоятельным и отрицается современным материализмом. Последний — отрицание отрицания — не представляет собой простого воскрешения старого материализма, но к прочным основам последнего присоединяет еще все идейное содержание двухтысячелетнего развития философии и естествознания, равно как и самой этой двухтысячелетней истории. Вообще он уже не является философией, но просто мировоззрением, которое ищет доказательств и проявляется не в особой науке наук, но в самих реальных науках. Философия, таким образом, «снята», т. е. «схоронена», «одновременно уничтожена и сохранена». Уничтожена формально, сохранена по своему действительному содержанию. Таким образом, там, где г. Дюринг видит только «игру слов», оказывается, при более внимательном наблюдении, реальное содержание.
Наконец, даже учение Руссо о равенстве, бледным искаженным снимком которого является учение г. Дюринга, — даже оно не могло быть построено без того, чтобы гегелевское отрицание отрицания не сыграло акушерской роли (и это еще более чем за 20 лет до рождения Гегеля). И весьма далекое от того, чтобы стыдиться этого, учение Руссо, в первом своем изложении, можно сказать, блистательно обнаруживает печать своего диалектического происхождения. В естественном и диком состоянии люди были равны, а так как Руссо уже на возникновение речи смотрит как на искажение естественного состояния, то он имел полное право приписывать равенство и тем гипотетическим людям-животным, которых в новейшее время Геккель назвал alali — лишенными речи. Но эти равные меж собой люди-животные имели одно преимущество перед прочими животными: способность совершенствования, дальнейшего развития, и эта способность стала причиной неравенства. Итак, Руссо видит в возникновении неравенства прогресс. Но этот прогресс был антагонистичен, он в то же время был и регрессом. «Все дальнейшие успехи представляли собою только кажущийся прогресс в направлении усовершенствования отдельного человека, на самом же деле этот прогресс шел в направлении упадка рода человеческого. Обработка металлов и земледелие были теми двумя искусствами, открытие которых вызвало эту громадную революцию» (т. е. превращение первобытных лесов в обработанную землю, но вместе с тем также господство нищеты и рабства, созданных установлением собственности). «С точки зрения поэта, золото и серебро, а с точки зрения философа — железо и хлеб цивилизовали людей, но и погубили человеческий род». Каждый новый прогрессивный шаг цивилизации есть в то же время и прогресс неравенства. Все учреждения, которые создает для себя общество, возникшее вместе с цивилизацией, превращаются в нечто противоположное своей первоначальной цели. «Бесспорно — и это составляет основной закон всего государственного права — что народы создали себе государей для охраны своей свободы, а не для ее уничтожения». И тем не менее, говорит Руссо, эти правители необходимо становились угнетателями народов, и их угнетение усиливается до того момента, когда неравенство, достигшее крайней степени, вновь превращается в свою противоположность, становясь причиной равенства: перед деспотом все равны, именно каждый равен нулю. «Тут — высшая степень неравенства, та конечная точка, которая замыкает круг и соприкасается с начальной точкой, от которой мы исходили: здесь все частные люди снова становятся равными членами, но только потомy, что они представляют собой ничто, и подданные не имеют другого закона, кроме воли господина». Но деспот является господином, пока на его стороне сила, а потому, «если его изгоняют, он не может жаловаться на насилие... Насилие его поддерживало, насилие его и свергает, все идет своим правильным и естественным путем». И, таким образом, неравенство вновь превращается в равенство, но не в старое естественное равенство первобытных людей, лишенных языка, а в высшее равенство — общественного договора. Угнетатели подвергаются угнетению. Это — отрицание отрицания.