Диалектика количества

Оттого, что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он не лишен вовсе содержания. Наоборот, нуль обладает весьма определенным содержанием. Будучи границей между всеми положительными и отрицательными величинами, будучи единственным, действительно нейтральным числом, которое не может быть ни + ни —, он представляет не только очень определенное число, но сам по себе важнее всех других ограничиваемых им чисел. Действительно, нуль богаче содержанием, чем всякое иное число. Прибавленный к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет его. Для этого можно было взять вместо нуля любой другой знак, но лишь при том условии, чтобы этот знак, взятый сам по себе, означал нуль = 0. Таким образом, от природы самого нуля зависит то, что он находит такое приложение и что только он один может найти такое приложение. Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; в качестве делителя какого-нибудь числа он делает его бесконечным, в качестве делимого он делает его бесконечно малым; он — единственное число, находящееся в бесконечном отношении к любому другому числу.0 / 0 может выражать любое число между -

 и +  и представляет в каждом случае действительную величину. Реальное значение какого-нибудь уравнения обнаруживается лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение приравнено нулю, как это встречается уже в квадратных уравнениях и употребляется почти всегда в высшей алгебре. Можно какую-нибудь функцию f (x, y) приравнять z и потом дифференцировать этот z, хотя он = 0, как обыкновенную зависимую переменную и получить его частную производную.

Ничто от любого количества само еще количественно не определено, и лишь потому можно оперировать нулем. Те самые математики, которые совершенно спокойно оперируют нулем, как выше указано, т. е. как вполне определенным количественным представлением, и ставят его в количественные отношения к другим количественным представлениям, — поднимают страшный вопль, когда находят у Гегеля такое общее положение: ничто от некоторого нечто есть определенное ничто.

Перейдем теперь к аналитической геометрии. Здесь нуль — определенная точка, начиная от которой одно направление по известной прямой считается положительным, а противоположное — отрицательным. Таким образом, здесь нулевая точка не только так же важна, как любая точка с определенным положительным или отрицательным значением, но и гораздо важнее всех их: это точка, от которой все они зависят, к которой все они относятся, которой они все определяются. Во многих случаях она может браться даже совершенно произвольным образом <в других случаях, где сама природа данной задачи ставит ограничения, все-таки остается выбор, по крайней мере, между двумя возможностями>. Но раз она взята, она остается средоточием всей операции, часто даже определяет направление линии, на которую наносятся другие точки, конечные точки абсцисс. Если, например, — переходя к уравнению круга, — мы примем любую точку периферии за нулевую точку, то линия абсцисс должна проходить через центр круга. Все это находит приложение также и в механике, где при вычислении движений принятая нулевая точка является опорным пунктом всей операции. <Произвольно взятая> нулевая точка термометра, — это вполне определенная нижняя граница температурной области, разделяемой на произвольное число градусов и служащей благодаря этому мерой температур как внутри самой себя, так и высших или низших температур. Таким образом, и здесь она является весьма существенной точкой. И даже абсолютный нуль термометра не представляет вовсе чистого абстрактного отрицания, а очень определенное состояние материи, именно границу, у которой исчезает последний след самостоятельного движения молекул и материя действует только в виде массы. Таким образом, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет собой нечто очень определенное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. показывает, что в качестве границы он важнее, чем все реальные, ограничиваемые им величины. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 115 — 117, 1932 г.)

Асимптоты

Асимптоты. Геометрия начинает с открытия, что прямое и кривое представляют абсолютные противоположности, что прямого нельзя совершенно выразить в кривом, кривого в прямом, что они несоизмеримы между собой. И однако уже круг можно вычислить лишь в том случае, если выразить его периферию в виде прямых линий. В случае же кривых с асимптотами прямое совершенно растворяется в кривом и кривое в прямом; точно так же исчезает и представление о параллелизме: линии не параллельны, непрерывно приближаются друг к другу и все-таки никогда не пересекаются. Ветвь кривой становится все прямее, не делаясь никогда окончательно прямой. Точно так же в аналитической геометрии прямая линия рассматривается как кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной. Сколь бы большим ни сделалось -x логарифмической кривой, y никогда не станет = 0. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31, 1932 г.)

Притяжение и отталкивание

Ньютонов параллелограмм сил в солнечной системе истинен, несомненно, для того момента, когда кольца отделяются, потому что вращательное движение приходит здесь в противоречие с самим собой, являясь, с одной стороны, в виде притяжения, а с другой — в виде тангенциальной силы. Но лишь только произошло это отделение, движение опять является доказательством диалектического процесса, — доказательством того, что это обособление должно произойти. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 33, 1932 г.)

Единство и многообразие

Нулевые степени. Их значение в логарифмическом ряду:

.

Все переменные переходят где-нибудь через значение единицы, поэтому также и константа какой-нибудь переменной степени, a^x = 1, когда x = 0. a⁰ = 1 означает попросту, что единицу надо взять в связи с другими членами ряда степеней a. Только в этом случае это имеет смысл и может дать полезные результаты

, в противном случае — нет. Отсюда следует, что и единица, как бы она ни казалась тожественной самой себе, заключает в себе бесконечное многообразие, ибо она может быть нулевой степенью любого другого числа; а что это многообразие отнюдь не мнимое, обнаруживается во всех случаях, когда единица рассматривается как определенная единица, как один из переменных результатов какого-нибудь процесса (как моментальная величина или форма некоторой переменной) в связи с этим процессом. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31, 1932 г.)

Прямое и кривое

Прямое и кривое. В дифференциальном исчислении они в конечном счете приравниваются друг к другу. В дифференциальном треугольнике, гипотенузой которого является дифференциал дуги (в методе касательных), эту гипотенузу можно рассматривать «как маленькую прямую линию, являющуюся одновременно элементом дуги и элементом касательной», независимо от того, рассматривают ли кривую как состоящую из бесконечно многих прямых линий или также [Цитата приводится по-французски.] «как строгую кривую, ибо так как искривление в каждой точке М бесконечно мало, то последнее отношение элемента кривой к элементу касательной есть, очевидно, отношение равенства». Итак, хотя здесь отношение непрерывно приближается к отношению равенства, но приближается по природе кривой асимптотическим образом, так как соприкасание ограничивается не имеющей длины точкой, однако в конце концов принимается, что достигнуто равенство кривой и прямой. Bossut, Calcul diff. et. int. Paris, An VI, I, стр. 149. В случае полярных кривых дифференциально мнимая абсцисса рассматривается даже как параллельная реальной абсциссе, и на этой основе производят действие, хотя обе пересекаются в полюсе; отсюда даже умозаключают о подобии двух треугольников, из которых один имеет угол как раз в точке пересечения обеих линий, на параллелизме которых основывается все подобие!..